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原码, 反码, 补码-减法变加法-同余理论:详解

发布人:zhoulujun@live.cn    点击:

原码, 反码, 补码-减法变加法-同余理论:详解 ——或许这样好理解点

一. 机器数和真值

在学习原码, 反码和补码之前, 需要先了解机器数和真值的概念.

1、机器数

一个数在计算机中的二进制表示形式,  叫做这个数的机器数。机器数是带符号的,在计算机用一个数的最高位存放符号, 正数为0, 负数为1.

比如,十进制中的数 +3 ,计算机字长为8位,转换成二进制就是00000011。如果是 -3 ,就是 10000011 。

那么,这里的 00000011 和 10000011 就是机器数。

2、真值

因为第一位是符号位,所以机器数的形式值就不等于真正的数值。例如上面的有符号数 10000011,其最高位1代表负,其真正数值是 -3 而不是形式值131(10000011转换成十进制等于131)。所以,为区别起见,将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。

例:0000 0001的真值 = +000 0001 = +1,1000 0001的真值 = –000 0001 = –1

 

二. 原码, 反码, 补码的基础概念和计算方法.

在探求为何机器要使用补码之前, 让我们先了解原码, 反码和补码的概念.对于一个数, 计算机要使用一定的编码方式进行存储. 原码, 反码, 补码是机器存储一个具体数字的编码方式.

1. 原码

原码就是符号位加上真值的绝对值, 即用第一位表示符号, 其余位表示值. 比如如果是8位二进制:

[+1] = 0000 0001

[-1] = 1000 0001

第一位是符号位. 因为第一位是符号位, 所以8位二进制数的取值范围就是:

[1111 1111 , 0111 1111]

[-127 , 127]

原码是人脑最容易理解和计算的表示方式.

2. 反码

反码的表示方法是:

正数的反码是其本身

负数的反码是在其原码的基础上, 符号位不变,其余各个位取反.

[+1] = [00000001] = [00000001]

[-1] = [10000001] = [11111110]

可见如果一个反码表示的是负数, 人脑无法直观的看出来它的数值. 通常要将其转换成原码再计算.

3. 补码

补码的表示方法是:

正数的补码就是其本身

负数的补码是在其原码的基础上, 符号位不变, 其余各位取反, 最后+1. (即在反码的基础上+1)

[+1] = [00000001] = [00000001] = [00000001]

[-1] = [10000001] = [11111110] = [11111111]

对于负数, 补码表示方式也是人脑无法直观看出其数值的. 通常也需要转换成原码在计算其数值.

 

数值的补码表示分两种情况: 
(1)正数的补码:与原码相同。 
      例如,+9的原码和补码都是00001001。 
(2)负数的补码:符号位为1,其余位为该数绝对值的原码按位取反,然后整个数加1。 
例如,-7的补码:因为是负数,则符号位为“1”,整个为10000111;其余7位为-7的绝对值+7的原码 0000111按位取反为1111000;再加1,所以-7的补码是11111001。 

 


已知一个数的补码,求原码的操作分两种情况: 
(1)如果补码的符号位为“0”,表示是一个正数,所以补码就是该数的原码。 
(2)如果补码的符号位为“1”,表示是一个负数,求原码的操作
可以是:符号位不变,-1再取反

也可以:符号位不变,其余各位取反,然后再整个数加1。 

 

例如,已知一个补码为1111 1001,则原码是1000 0111(-7):因为符号位为“1”,表示是一个负数,所以该位不变,仍为   “1”;
减1, 
1111 1000取反,                1000 0111
取反后为000 0110;再加1,所以是1000 0111。 

 

 

三. 为何要使用原码, 反码和补码

在开始深入学习前, 我的学习建议是先"死记硬背"上面的原码, 反码和补码的表示方式以及计算方法.

现在我们知道了计算机可以有三种编码方式表示一个数. 对于正数因为三种编码方式的结果都相同:

[+1] = [00000001] = [00000001] = [00000001]

所以不需要过多解释. 但是对于负数:

[-1] = [10000001] = [11111110] = [11111111]

可见原码, 反码和补码是完全不同的. 既然原码才是被人脑直接识别并用于计算表示方式, 为何还会有反码和补码呢?

首先, 因为人脑可以知道第一位是符号位, 在计算的时候我们会根据符号位, 选择对真值区域的加减. (真值的概念在本文最开头). 但是对于计算机, 加减乘数已经是最基础的运算, 要设计的尽量简单. 计算机辨别"符号位"显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂! 于是人们想出了将符号位也参与运算的方法. 我们知道, 根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数, 即: 1-1 = 1 + (-1) = 0 , 所以机器可以只有加法而没有减法, 这样计算机运算的设计就更简单了.

于是人们开始探索 将符号位参与运算, 并且只保留加法的方法. 首先来看原码:

计算十进制的表达式: 1-1=0

1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001] + [10000001] = [10000010] = -2

如果用原码表示, 让符号位也参与计算, 显然对于减法来说, 结果是不正确的.这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数.

为了解决原码做减法的问题, 出现了反码:

计算十进制的表达式: 1-1=0

1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001] + [1000 0001]= [0000 0001] + [1111 1110] = [1111 1111] = [1000 0000] = -0

发现用反码计算减法, 结果的真值部分是正确的. 而唯一的问题其实就出现在"0"这个特殊的数值上. 虽然人们理解上+0和-0是一样的, 但是0带符号是没有任何意义的. 而且会有[0000 0000]和[1000 0000]两个编码表示0.

于是补码的出现, 解决了0的符号以及两个编码的问题:

1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001] + [1000 0001] = [0000 0001] + [1111 1111] = [0000 0000]=[0000 0000]

这样0用[0000 0000]表示, 而以前出现问题的-0则不存在了.而且可以用[1000 0000]表示-128:

(-1) + (-127) = [1000 0001] + [1111 1111] = [1111 1111] + [1000 0001] = [1000 0000]

-1-127的结果应该是-128, 在用补码运算的结果中, [1000 0000] 就是-128. 但是注意因为实际上是使用以前的-0的补码来表示-128, 所以-128并没有原码和反码表示.(对-128的补码表示[1000 0000]补算出来的原码是[0000 0000], 这是不正确的)

使用补码, 不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题, 而且还能够多表示一个最低数. 这就是为什么8位二进制, 使用原码或反码表示的范围为[-127, +127], 而使用补码表示的范围为[-128, 127].

因为机器使用补码, 所以对于编程中常用到的32位int类型, 可以表示范围是: [-231, 231-1] 因为第一位表示的是符号位.而使用补码表示时又可以多保存一个最小值.

 

四 原码, 反码, 补码 再深入

计算机巧妙地把符号位参与运算, 并且将减法变成了加法, 背后蕴含了怎样的数学原理呢?

将钟表想象成是一个1位的12进制数. 如果当前时间是6点, 我希望将时间设置成4点, 需要怎么做呢?我们可以:

1. 往回拨2个小时: 6 - 2 = 4

2. 往前拨10个小时: (6 + 10) mod 12 = 4

3. 往前拨10+12=22个小时: (6+22) mod 12 =4

2,3方法中的mod是指取模操作, 16 mod 12 =4 即用16除以12后的余数是4.

所以钟表往回拨(减法)的结果可以用往前拨(加法)替代!

现在的焦点就落在了如何用一个正数, 来替代一个负数. 上面的例子我们能感觉出来一些端倪, 发现一些规律. 但是数学是严谨的. 不能靠感觉.

首先介绍一个数学中相关的概念: 同余

 

同余的概念

两个整数a,b,若它们除以整数m所得的余数相等,则称a,b对于模m同余

记作 a ≡ b (mod m)

读作 a 与 b 关于模 m 同余。

举例说明:

4 mod 12 = 4

16 mod 12 = 4

28 mod 12 = 4

所以4, 16, 28关于模 12 同余.

 

负数取模

正数进行mod运算是很简单的. 但是负数呢?

下面是关于mod运算的数学定义:

clip_image001

上面是截图, "取下界"符号找不到如何输入(word中粘贴过来后乱码). 下面是使用"L"和"J"替换上图的"取下界"符号:

x mod y = x - y L x / y J

上面公式的意思是:

x mod y等于 x 减去 y 乘上 x与y的商的下界.

以 -3 mod 2 举例:

-3 mod 2

= -3 - 2xL -3/2 J

= -3 - 2xL-1.5J

= -3 - 2x(-2)

= -3 + 4 = 1

所以:

(-2) mod 12 = 12-2=10

(-4) mod 12 = 12-4 = 8

(-5) mod 12 = 12 - 5 = 7

 

开始证明

再回到时钟的问题上:

回拨2小时 = 前拨10小时

回拨4小时 = 前拨8小时

回拨5小时= 前拨7小时

注意, 这里发现的规律!

结合上面学到的同余的概念.实际上:

(-2) mod 12 = 10

10 mod 12 = 10

-2与10是同余的.

(-4) mod 12 = 8

8 mod 12 = 8

-4与8是同余的.

距离成功越来越近了. 要实现用正数替代负数, 只需要运用同余数的两个定理:

反身性:

a ≡ a (mod m)

这个定理是很显而易见的.

线性运算定理:

如果a ≡ b (mod m),c ≡ d (mod m) 那么:

(1)a ± c ≡ b ± d (mod m)

(2)a * c ≡ b * d (mod m)

如果想看这个定理的证明, 请看:http://baike.baidu.com/view/79282.htm

所以:

7 ≡ 7 (mod 12)

(-2) ≡ 10 (mod 12)

7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12)

现在我们为一个负数, 找到了它的正数同余数. 但是并不是7-2 = 7+10, 而是 7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12) , 即计算结果的余数相等.

接下来回到二进制的问题上, 看一下: 2-1=1的问题.

2-1=2+(-1) = [0000 0010] + [1000 0001]= [0000 0010] + [1111 1110]

先到这一步, -1的反码表示是1111 1110. 如果这里将[1111 1110]认为是原码, 则[1111 1110]原 = -126, 这里将符号位除去, 即认为是126.

发现有如下规律:

(-1) mod 127 = 126

126 mod 127 = 126

即:

(-1) ≡ 126 (mod 127)

2-1 ≡ 2+126 (mod 127)

2-1 与 2+126的余数结果是相同的! 而这个余数, 正式我们的期望的计算结果: 2-1=1

所以说一个数的反码, 实际上是这个数对于一个膜的同余数. 而这个膜并不是我们的二进制, 而是所能表示的最大值! 这就和钟表一样, 转了一圈后总能找到在可表示范围内的一个正确的数值!

而2+126很显然相当于钟表转过了一轮, 而因为符号位是参与计算的, 正好和溢出的最高位形成正确的运算结果.

既然反码可以将减法变成加法, 那么现在计算机使用的补码呢? 为什么在反码的基础上加1, 还能得到正确的结果?

2-1=2+(-1) = [0000 0010] + [1000 0001] = [0000 0010] + [1111 1111]

如果把[1111 1111]当成原码, 去除符号位, 则:

[0111 1111] = 127

其实, 在反码的基础上+1, 只是相当于增加了膜的值:

(-1) mod 128 = 127

127 mod 128 = 127

2-1 ≡ 2+127 (mod 128)

此时, 表盘相当于每128个刻度转一轮. 所以用补码表示的运算结果最小值和最大值应该是[-128, 128].

但是由于0的特殊情况, 没有办法表示128, 所以补码的取值范围是[-128, 127]

本人一直不善于数学, 所以如果文中有不对的地方请大家多多包含, 多多指点!

注释:
 

1、文章第三部分提到“用反码计算减法, 结果的真值部分是正确的. 而唯一的问题其实就出现在"0"这个特殊的数值上” ,这是不对的。
用反码计算减法(特指两正数相减),只有当结果是负数或0时,结果的真值部分才是正确的,当结果是正数时就不对了,比如:2-1=[00000010]反+[11111110]反=[00000000]反=0,这显然是错误的。所以反码用于计算的话,问题不止是‘0’的表示。

2、文章最后对同余的讲解非常清楚,但是用同余的观点解释反码和补码的运算却是有点偏差的。
既然计算机在运算时并不辨别符号位,那么它其实是把这些二进制数统一看作无符号数进行计算的,所以在用同余理论时把反码、补码同无符号数进行比较才能解释的通。
对于8位机,计算机的循环计数周期为256,所以计算机对无符号数运算后的结果实际是把真实结果对模256取余。在原码、反码、补码中,只有补码对应的无符号数与真值始终是关于256同余的,所以补码计算的结果与真实结果相同(在没有溢出的情况下)。

用原码和反码计算出错的原因也可以这样解释。原码就不用说了,反码的话,正数的反码对应的无符号数与真值是关于256同余的,而负数的反码对应的无符号数却与真值关于255同余,所以结果有可能出错。在“1-1”这个例子中,结果的真值部分刚好正确是有些巧合在里面的,实际上两个正数相减,如果结果为负数或0,结果所对应的真值都恰好正确,但只要结果是正数就不对了,这可以从反码与真值的关系推断出来。


更加详细 

 

原码就是原来的表示方法

反码是除符号位(最高位)外取反

补码=反码+1

以前学习二进制编码时,老师讲了一堆堆的什么原码啊反码啊补码啊xxxx转换啊,还有负数的表示方式啊 总是记不零清,终于从网上找到了一种比较好的讲解方式,保存再share一下,不过为了系统化讲解,又找来了一些编码的基础知识,如果只想看负数编码记忆法,请跳转到

1.如果你不知道二进制怎么编码,请继续,否则请跳到2

    1字节 = 8位,所以它能表示的最大数当然是8位都是1(既然2进制的数只能是0或1,如果是我们常见的10进制,那就8位都为9,这样说,你该懂了?)

1字节的二进制数中,最大的数:11111111。

    这个数的大小是多少呢?让我们来把它转换为十进制数。

    无论是什么进制,都是左边是高位,右边是低位。10进制是我们非常习惯的计数方式,第一位代表有几个1(即几个100),第二位代表有几个10(即几个101),第三位代表有几个100(即有几个102)…,用小学课本上的说法就是:个位上的数表示几个1,十位上的数表示向个10,百位上的数表示几个100……

    同理可证,二进制数则是:第1位数表示几个1 (20),第2位数表示几个2(21),第3位数表示几个4(22),第4位数表示向个8(23)……

    以前我们知道1个字节有8位,现在通过计算,我们又得知:1个字节可以表达的最大的数是255,也就是说表示0~255这256个数。

     那么两个字节(双字节数)呢?双字节共16位。 1111111111111111,这个数并不大,但长得有点眼晕,从现在起,我们要学会这样来表达二制数:

1111 1111 1111 1111,即每4位隔一空格。

双字节数最大值为:

1 * 215 + 1 *214 + 1* 213 + 1 * 212 + 1 * 211 + 1 * 210 + …… + 1 * 22 + 1 * 21 + 1* 20 = 65535

    很自然,我们可以想到,一种数据类型允许的最大值,和它的位数有关。具体的计算方法方法是,如果它有n位,那么最大值就是:

n位二进制数的最大值:1 * 2(n-1) + 1 * 2(n-2) + ... + 1 * 20

2、理解有符号数和无符号数

负数在计算机中如何表示呢?这一点,你可能听过两种不同的回答。

一 种是教科书,它会告诉你:计算机用&ldquo;补码&rdquo;表示负数。可是有关&ldquo;补码&rdquo;的概念一说就得一节课,这一些我们需要在第6章中用一章的篇幅讲2进制的一切。再 者,用&ldquo;补码&rdquo;表示负数,其实是一种公式,公式的作用在于告诉你,想得到问题的答案,应该如何计算。却并没有告诉你为什么用这个公式就可以得到答案? -----我就是被这个弄混淆的>_<

另 一种是一些程序员告诉你的:用二进制数的最高位表示符号,最高位是0,表示正数,最高位是1,表示负数。这种说法本身没错,可是如果没有下文,那么它就是 错的。至少它不能解释,为什么字符类型的-1用二进制表示是&ldquo;1111 1111&rdquo;(16进制为FF);而不是我们更能理解的&ldquo;1000 0001&rdquo;。(为什么说后者更好理解呢?因为既然说最高位是1时表示负数,那1000 0001不是正好是-1吗?-----re!当初偶就是这么想的,so一直在脑中打架,越打越混淆=,=)。

让我们从头说起。

2.1、你自已决定是否需要有正负。

就像我们必须决定某个量使用整数还是实数,使用多大的范围数一样,我们必须自已决定某个量是否需要正负。如果这个量不会有负值,那么我们可以定它为带正负的类型。

在计算机中,可以区分正负的类型,称为有符类型,无正负的类型(只有正值),称为无符类型。

数值类型分为整型或实型,其中整型又分为无符类型或有符类型,而实型则只有有符类型。

字符类型也分为有符和无符类型。

比如有两个量,年龄和库存,我们可以定前者为无符的字符类型,后者定为有符的整数类型。

2、使用二制数中的最高位表示正负。

首先得知道最高位是哪一位?1个字节的类型,如字符类型,最高位是第7位,2个字节的数,最高位是第15位,4个字节的数,最高位是第31位。不同长度的数值类型,其最高位也就不同,但总是最左边的那位(如下示意)。字符类型固定是1个字节,所以最高位总是第7位。

(红色为最高位)

单字节数: 1111 1111

双字节数: 1111 1111 1111 1111

四字节数: 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111

当我们指定一个数量是无符号类型时,那么其最高位的1或0,和其它位一样,用来表示该数的大小。

当我们指定一个数量是有符号类型时,此时,最高数称为&ldquo;符号位&rdquo;。为1时,表示该数为负值,为0时表示为正值。

 3、无符号数和有符号数的范围区别。

无符号数中,所有的位都用于直接表示该值的大小。有符号数中最高位用于表示正负,所以,当为正值时,该数的最大值就会变小。我们举一个字节的数值对比:

无符号数: 1111 1111   值:255 1* 27 + 1* 26 + 1* 25 + 1* 24 + 1* 23 + 1* 22 + 1* 21 + 1* 20

有符号数: 0111 1111   值:127         1* 26 + 1* 25 + 1* 24 + 1* 23 + 1* 22 + 1* 21 + 1* 20

  同样是一个字节,无符号数的最大值是255,而有符号数的最大值是127。原因是有符号数中的最高位被挪去表示符号了。并且,我们知道,最高位的权值也是最高的(对于1字节数来说是2的7次方=128),所以仅仅少于一位,最大值一下子减半。

不过,有符号数的长处是它可以表示负数。因此,虽然它的在最大值缩水了,却在负值的方向出现了伸展。我们仍一个字节的数值对比:

无符号数:                       0 ----------------- 255

有符号数:        -128 --------- 0 ---------- 127

 

同样是一个字节,无符号的最小值是 0 ,而有符号数的最小值是-128。所以二者能表达的不同的数值的个数都一样是256个。只不过前者表达的是0到255这256个数,后者表达的是-128到+127这256个数。

一个有符号的数据类型的最小值是如何计算出来的呢?

有符号的数据类型的最大值的计算方法完全和无符号一样,只不过它少了一个最高位(见第3点)。但在负值范围内,数值的计算方法不能直接使用1* 26 + 1* 25 的公式进行转换。在计算机中,负数除为最高位为1以外,还采用补码形式进行表达。所以在计算其值前,需要对补码进行还原。这里,先直观地看一眼补码的形式:

以我们原有的数学经验,在10进制中:1 表示正1,而加上负号:-1 表示和1相对的负值。

那么,我们会很容易认为在2进制中(1个字节): 0000 0001 表示正1,则高位为1后:1000 0001应该表示-1。

然而,事实上计算机中的规定有些相反,请看下表:

 

 

二进制值(1字节)十进制值
1000 0000红色的1代表负数蓝色的是补码(补码=反码+1)-128
1000 0001蓝色部分代表多大的值?:将补码还原为原码-127想化成负数?:先减去1按位取反
1000 0010还原方法:补码-1再取反-126
1000 0011-125
......
1111 1110-2
1111 1111-1

 

 

首先我们看到,从-1到-128,其二进制的最高位都是1(表中标为红色),正如我们前面的学。

然后我们有些奇怪地发现,1000 0000 并没有拿来表示 -0;而1000 0001也不是拿来直观地表示-1。事实上,-1 用1111 1111来表示。

怎么理解这个问题呢?先得问一句是-1大还是-128大

当 然是 -1 大。-1是最大的负整数。以此对应,计算机中无论是字符类型,或者是整数类型,也无论这个整数是几个字节。它都用全1来表示 -1。比如一个字节的数值中:1111 1111表示-1,那么,1111 1111 - 1 是什么呢?和现实中的计算结果完全一致。1111 1111 - 1 = 1111 1110,而1111 1110就是-2。这样一直减下去,当减到只剩最高位用于表示符号的1以外,其它低位全为0时,就是最小的负值了,在一字节中,最小的负值是1000 0000,也就是-128。

--------小米批注:就是这部分蓝色的文字,让我终于能记清楚-1的编码方式了,汗=。=

我们以-1为例,来看看不同字节数的整数中,如何表达-1这个数:

 

字节数二进制值十进制值
单字节数1111 1111红色表示负数蓝色部分的补码为值1-1
负数:原码就是原来的表示方法、反码是除符号位(最高位)外取反、补码=反码+1双字节数1111 1111 1111 1111-1
四字节数1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111-1

 

可 能有同学这时会混了:为什么 1111 1111 有时表示255,有时又表示-1?所以我再强调一下本节前面所说的第2点:你自已决定一个数是有符号还是无符号的。写程序时,指定一个量是有符号的,那么 当这个量的二进制各位上都是1时,它表示的数就是-1;相反,如果事选声明这个量是无符号的,此时它表示的就是该量允许的最大值,对于一个字节的数来说, 最大值就是255。

ok 摘抄暂告段落,其实原文对于c的一些基础数据类型知识介绍的非常详细,8过太长了,摘到我需要的内容后就没全帖过来,如果有需要学习的同学,建议参见原文:)

转自http://blog.cersp.com/7892477/1201309.aspx

关键字: 二进制编码,负数二进制,二进制

什么叫机器数?计算机为什么要采用补码?

 

2007-09-09 14:24:25

  

标签:教育杂谈

    在计算机内部,所有信息都是用二进制数串的形式表示的。整数通常都有正负之分,计算机中的整数分为无符号的和带符号的。无符号的整数用来表示0和正整数, 带符号的证书可以表示所有的整数。由于计算机中符号和数字一样,都必须用二进制数串来表示,因此,正负号也必须用0、1来表示。通常我们用最高的有效位来 表示数的符号(当用8位来表示一个整数时,第8位即为最高有效位,当用16位来表示一个整数时,第16位即为最高有效位。)0表示正号、1表示负号,这种 正负号数字化的机内表示形式就称为&ldquo;机器数&rdquo;,而相应的机器外部用正负号表示的数称为&ldquo;真值&rdquo;。将一个真值表示成二进制字串的机器数的过程就称为编码。

    无符号数没有原码、反码和补码一说。只有带符号数才存在不同的编码方式。

带符号整数有原码、反码、补码等几种编码方式。原码即直接将真值转换为其相应的二进制形式,而反码和补码是对原码进行某种转换编码方式。正整数的原 码、反码和补码都一样,负数的反码是对原码的除符号位外的其他位进行取反后的结果(取反即如果该位为0则变为1,而该位为1则变为0的操作)。而补码是先 求原码的反码,然后在反码的末尾位加1 后得到的结果,即补码是反码+1。IBM-PC中带符号整数都采用补码形式表示。(注意,只是带符号的整数采用补码存储表示的,浮点数另有其存储方式。)

    采用补码的原因或好处如下。

    采用补码运算具有如下两个特征:

    1)因为使用补码可以将符号位和其他位统一处理,同时,减法也可以按加法来处理,即如果是补码表示的数,不管是加减法都直接用加法运算即可实现。

    2)两个用补码表示的数相加时,如果最高位(符号位)有进位,则进位被舍弃。

    这样的运算有两个好处:

    1)使符号位能与有效值部分一起参加运算,从而简化运算规则。从而可以简化运算器的结构,提高运算速度;(减法运算可以用加法运算表示出来。)

    2)加法运算比减法运算更易于实现。使减法运算转换为加法运算,进一步简化计算机中运算器的线路设计。

    下面深入分析上面所陈述的采用补码的原因(目的)。

    用带符号位的原码进行乘除运算时结果正确,而在加减运算的时候就出现了问题,如下:假设字长为8bits

    ( 1 ) 10- ( 1 )10 = ( 1 )10 + ( -1 )10 = ( 0 )10

    (00000001)原 + (10000001)原 = (10000010)原 = ( -2 ) 显然不正确.。

    因为在两个整数的加法运算中是没有问题的,于是就发现问题出现在带符号位的负数身上,对除符号位外的其余各位逐位取反就产生了反码。反码的取值空间和原码相同且一一对应。下面是反码的减法运算:

     ( 1 )10 - ( 1 ) 10= ( 1 ) 10+ ( -1 ) 10= ( 0 )10

     (00000001) 反+ (11111110)反 = (11111111)反 = ( -0 ) 有问题。

    ( 1 )10 - ( 2)10 = ( 1 )10 + ( -2 )10 = ( -1 )10

     (00000001) 反+ (11111101)反 = (11111110)反 = ( -1 ) 正确

    问题出现在(+0)和(-0)上,在人们的计算概念中零是没有正负之分的。

于是就引入了补码概念。负数的补码就是对反码加一,而正数不变,正数的原码反码补码是一样的。在补码中用(-128)代替了(-0),所以补码的表示范围为:

(-128~0~127)共256个。

    注意:(-128)没有相对应的原码和反码, (-128) = (10000000) 补码的加减运算如下:

    ( 1 ) 10- ( 1 ) 10= ( 1 )10 + ( -1 )10 = ( 0 )10

    (00000001)补 + (11111111)补 = (00000000)补 = ( 0 ) 正确

     ( 1 ) 10- ( 2) 10= ( 1 )10 + ( -2 )10 = ( -1 )10

    (00000001) 补+ (11111110) 补= (11111111)补 = ( -1 ) 正确

    采用补码表示还有另外一个原因,那就是为了防止0的机器数有两个编码。原码和反码表示的0有两种形式+0和-0,而我们知道,+0和-0是相同的。这 样,8位的原码和反码表示的整数的范围就是-127~+127(11111111~01111111),而采用补码表示的时候,00000000是+0, 即0;10000000不再是-0,而是-128,这样,补码表示的数的范围就是-128~+127了,不但增加了一个数得表示范围,而且还保证了0编码 的唯一性。

    整数和0的原码、反码和补码都相同,下面介绍手工快速求负数补码的方法。这个方法在教材的第8页已经提到了,这里再写出来以便能引起大家的注意。其方法如下:

    先写出该负数的相反数(正数),再将该正数的二进制形式写出来,然后对这个二进制位串按位取反,即若是1则改为0,若是0则改为1,最后在末位加1。

接下来的问题是,如何能将减法运算转换成加法运算呢?

    我们已经知道,原码表示简单直观,与真值转换容易。但如果用原码表示,其符号位不能参加运算。在计算机中用原码实现算术运算时,要取绝对值参加运算,符号 位单独处理,这对乘除运算是很容易实现的,但对加减运算是非常不方便的,如两个异号数相加,实际是要做减法,而两个异号数相减,实际是要做加法。在做减法 时,还要判断操作数绝对值的大小,这些都会使运算器的设计变得很复杂。而补码这种编码方式实际上正是针对上述问题的。通过用补码进行表示,就可以把减法运 算化为加法运算。

    在日常生活中,有许多化减为加的例子。例如,时钟是逢12进位,12点也可看作0点。当将时针从10点调整到5点时有以下两种方法:

    一种方法是时针逆时针方向拨5格,相当于做减法:

        10-5=5

    另一种方法是时针顺时针方向拨7格,相当于做加法:

      10+7=12+5=5    (MOD 12)

    这是由于时钟以12 为模,在这个前提下,当和超过12时,可将12舍去。于是,减5相当于加7。同理,减4可表示成加8,减3可表示成加9,&hellip;。

    在数学中,用&ldquo;同余&rdquo;概念描述上述关系,即两整数A、B用同一个正整数M (M称为模)去除而余数相等,则称A、B对M同余,记作:

       A=B     (MOD M)

    具有同余关系的两个数为互补关系,其中一个称为另一个的补码。当M=12时,-5和+7,-4和+8,-3和+9就是同余的,它们互为补码。

    从同余的概念和上述时钟的例子,不难得出结论:对于某一确定的模,用某数减去小于模的另一个数,总可以用加上&ldquo;模减去该数绝对值的差&rdquo;来代替。因此,在有模运算中,减法就可以化作加法来做。

    可以看出,补码的加法运算所依据的基本关系为:

[x]补+ [y]补= [x+y]补

    补码减法所依据的基本关系式:

[x-y]补 =[x+(-y)]补= [x]补+ [-y]补

    至于加法运算为什么比减法运算易于实现以及CPU如何实现各种算术运算等问题,则需要通过对数字电路的学习来理解CPU的运算器的硬件实现问题的相关内容了。


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